Аннотация:
Ван Хун, обладатель Филдсовской медали 2026 года, получил высшую награду в области математики за доказательство гипотезы о трехмерном множестве Какетани. Эта геометрическая задача, решение которой длилось столетие, в ее руках совершила исторический скачок от двух измерений к трем и стала самым значительным математическим прорывом за последнее десятилетие.
Всего три месяца спустя OpenAI сделала в этом исследовании большой шаг вперед: оно не только решило более сложную трехмерную гипотезу о максимальной функции Какеи, но и впервые доказало, что размерность Хаусдорфа четырехмерного множества Какеи равна 4, подняв предыдущий лучший рекорд людей, застрявших на 3,059 измерениях, на одно измерение, достигнув теоретического верхнего предела.
Однако это лишь верхушка айсберга в вызове OpenAI математическому миру.
На этот раз OpenAI выпустила 722 математических рукописи на одном дыхании, классифицированных по 372 семействам результатов, охватывающим области, выходящие далеко за рамки проблемы Какейи, включая гипотезу квази-Римана, десятую проблему Гильберта, проблемы, связанные с каталонскими константами, и десятки других классических проблем, которые беспокоили академическое сообщество в течение многих лет. Все содержимое получено из внутренней модели, которая даже не получила названия. На каждую задачу уходит в среднем всего 3 часа.
OpenAI разместила эти рукописи на GitHub и в течение 24 часов после публикации в Интернете получила 10 000 звезд.
Ассоциация человеческой математики заявила: «Математики не просили OpenAI выполнять эту работу». Он также заявил, что эти рукописи не прошли проверку и являются всего лишь еще одним «перформанс-маркетингом» OpenAI.
Что такое Рукопись № 074?
Происхождение проблемы Какеи кроется в вопросе, заданном японским математиком Соичи Какетани в 1917 году: предположим, что у вас есть тонкая игла, поместите ее на плоскую поверхность и поверните ее по одному кругу (или позвольте ей указывать во всех направлениях). Какую наименьшую площадь может охватить игла?
Интуитивно говоря, игла имеет длину, поэтому она должна выметать диск, когда тот вращается один раз, верно?
Это не так. Позже математик Безикович доказал, что пока метод вращения достаточно «умный», площадь, охваченная иглой, может быть сколь угодно малой, даже меньше, чем любое указанное вами положительное число.
На основе этого математики построили множество с «нулевой площадью», которое все еще содержит отрезки линий в каждом направлении. Этот тип набора называется «множеством Безиковича» или «множеством Какетани».
Поскольку площадь может быть равна 0, разве на этом проблема не заканчивается? Но нет.
Потому что «площадь равна нулю» означает лишь то, что этот набор не имеет толщины и не занимает места, но это не может выразить, насколько он «сложный».
Математическая площадь линии и клубка линий может быть равна 0, но, очевидно, это не одно и то же.
Итак, математики изменили свое мышление. Хотя у этого множества нет площади, оно похоже на линию или поверхность или ближе к твердому предмету? Итак, есть «размеры».
Линия одномерна, лист бумаги двухмерен, а коробка трехмерна. Но для некоторых особенно «редких» наборов размерность может быть даже десятичной, например 2,5 измерения.
Измерение Хаусдорфа — одна из наиболее часто используемых линеек. Его логика заключается в использовании очень маленьких шаров для покрытия сета. Сколько мячей нужно? Если радиус сферы уменьшить вдвое, а количество необходимых сфер увеличить вдвое, то набор будет одномерным, как линия; если он учетверен, то двумерен, как плоскость; если восемь раз, то оно трехмерно, как твердое тело. Между ними находится десятичная размерность.
В двумерной плоскости математики еще в 1971 году доказали, что любое множество, содержащее отрезки линий во всех направлениях, должно иметь размерность 2, даже если его площадь равна 0.
А как насчет трехмерного пространства? А как насчет четвертого измерения? А как насчет высших измерений? Математики догадываются: в n-мерном пространстве, пока множество содержит отрезки линий единичной длины во всех направлениях, его хаусдорфова размерность должна быть равна n, даже если его объем равен 0. Это знаменитая «гипотеза о множестве Какеи».
В 2026 году Ван Хун выиграл медаль Филдса. Официальной причиной награды стал ее значительный прогресс в решении задачи предела Фурье и трехмерной задачи Какеи. Самая основная и самая известная из них — это упомянутая ранее гипотеза о трёхмерном множестве Какеи.
Две проблемы, которые OpenAI решил на этот раз, — это «усиленные версии» Ван Хуна.
Первая из них — это гипотеза трехмерного максимума функции Какеи.
Слово «максимум» в названии относится к практике «выбора максимального значения».
Предположим, в космосе туман неравномерной плотности. Возьмите тонкую соломинку и пососите ее в разных положениях. Средняя концентрация тумана, содержащегося в соломинке, будет разной.
Попробуйте все возможные интерполяции в этом направлении и запишите только ту, которая имеет наибольшую концентрацию. Это «наивысшее значение» является «максимальным значением» в этом направлении.
Снова измените направление, повторите то же самое и получите еще одно «самое высокое значение». Путем сбора наивысших значений по всем направлениям получается соответствующая связь между «направлением и наивысшим значением». Математики называют это «функцией максимума Какеи».
Вторая — это гипотеза четырехмерной размерности Хаусдорфа, то есть перенос предыдущего вывода из трех измерений в четырехмерность.
Размерность множества Какеи в четырехмерном пространстве должна быть равна 4. На данный момент лучший результат людей в четырех измерениях - 3,059, полученный с помощью демонстрации «плоской кисти» в 2021 году. Другими словами, можно доказать только то, что оно составляет не менее 3,059 измерений. От 3,059 до 4 это эквивалентно прямому увеличению в одном измерении.
От двухмерного к трехмерному сложность задачи представляет собой почти «качественное изменение»; от трехмерного к четырехмерному, это тоже качественное изменение. Потому что чем выше размерность, тем больше способов пересечения и сложения этих «трубок» и с более сложными геометрическими ситуациями приходится иметь дело математикам.
Поэтому, если бы математикам пришлось самим завершить эти две гипотезы, это заняло бы как минимум несколько лет.
Однако, согласно собственному заявлению OpenAI, весь процесс довольно «прост».
Используйте невыпущенную внутреннюю модель и слово-подсказку и позвольте агенту запустить ее. В среднем каждый результат требует всего около 3 часов мыслительного процесса ChatGPT Pro.
За весь процесс оценки в модель было задано около 4000 вопросов. После слияния и проверки остались нынешние 722 рукописи.
OpenAI превзошел медаль Филдса?
Если трубочки сложены не очень сильно, то общая площадь, которую они занимают, естественно, будет незначительной. Следовательно, как только гипотеза о максимальной функции доказана, можно напрямую вывести установленную версию гипотезы.
Поэтому некоторые пользователи сети заявили, что ИИ потребовалось всего три часа, чтобы превзойти медаль Филдса. Однако на самом деле это своего рода предубеждение. Он не только пренебрежительно относится к медали Филдса, но и не понимает результатов исследований Ван Хуна.
Потому что аргументация OpenAI не начинается с нуля. В семействе результатов № 074 четко указано, что оно основано на результатах исследований Ван Хуна, а не взято из воздуха.
Это также соответствует нормам математических исследований. Почти каждый крупный прорыв в истории человечества стоит на плечах предшественников, а само доказательство Ван Хун также основано на ее предыдущей работе над «липкими множествами Какеи» и результатах многих математиков за последние тридцать лет.
Еще более совпадением является то, что еще в марте 2025 года математик Массачусетского технологического института Ларри Гут предсказал в интервью, что переход от двухмерного к трехмерному — самый трудный шаг, и доказательство Ван Хуна, скорее всего, будет преобразовано и использовано для решения многомерных задач.
Итак, если четырехмерный вывод OpenAI верен, то он также подтверждает суждение математика того времени.
Как понимать фразу «больше, чем медаль Филдса»?
Во-первых, медаль Филдса награждает математика за его общий вклад, а не за одну статью. Просто в медали Филдса, присуждаемой Ван Хонгу, гипотеза трехмерного множества Какетани действительно является основным результатом.
Во-вторых, если рукопись OpenAI № 074 действительно верна, то с точки зрения единственного измерения математической «сложности» она действительно сложнее, чем вопрос, за который Ван Хун получил награду: потому что трехмерная версия максимальной функции содержит установленную версию, а четырехмерная проблема размерности Хаусдорфа является дальнейшей целью человечества после трех измерений, которая никогда раньше не решалась.
Но в этом предложении есть ключевое слово — «если».
Рукопись № 074 в настоящее время не имеет официального подтверждения бережливого производства и не прошла рецензирование. Пока это не проверено, это просто «документ, претендующий на решение более сложной проблемы», а не «более сложная проблема, которая была доказана». В истории математики есть много «доказательств», которые были объявлены, а затем отозваны.
В настоящее время мы все еще застряли на слове «если».
Медаль Ван Хуна Филдса, после нескольких месяцев испытаний и проверки всем академическим сообществом, теперь стала краеугольным камнем в этой области. Независимо от того, будет ли в конечном итоге принята рукопись OpenAI или нет, ее отправная точка неотделима от этого краеугольного камня.
Верификация — самая сложная
Настоящая трудность — это проверка. Процесс проверки математики является одним из наиболее трудоемких аспектов всего математического исследования.
Возьмем, к примеру, Ван Хуна.
В феврале 2025 года она разместила доказательство гипотезы о трехмерном множестве Какеи на сайте академических препринтов arXiv, объем которого составляет около 127 страниц.
После выхода статьи она не сразу признается «правильной». Статья подверглась неоднократному самоанализу со стороны автора и длительному анализу со стороны известных ученых, таких как Теренс Тао. Журнал Quanta назвал это доказательством, которое бывает «раз в столетие».
Работы по проверке длились с февраля 2025 года до объявления медали Филдса в июле 2026 года, что заняло почти полтора года. Даже сегодня многие математики не полностью усвоили и усвоили новые идеи, содержащиеся в этом наборе доказательств.
Это означает, что доказательству объемом более 100 страниц, написанному выдающимся математиком, придется пройти коллективное рассмотрение более года, прежде чем оно получит широкое признание.
Сейчас пришло сразу 722 статьи.
Мало того, многие из 722 рукописей, выпущенных OpenAI, представляют собой длинные аргументы в сотни страниц. Если каждую статью эксперт должен читать в течение нескольких месяцев, то в мире может быть всего несколько десятков экспертов, способных понять одну из статей, а то и меньше.
Более того, у каждого из этих экспертов есть свои исследования, и невозможно отказаться от всей проделанной работы, чтобы «выступить в роли рецензента» OpenAI.
Что еще более неприятно, так это то, что представитель OpenAI признал, что многие из этих результатов не до конца понятны собственными математиками OpenAI, включая упомянутую выше рукопись № 074.
Поэтому реакция математического сообщества более скептическая.
Подобное беспокойство сегодня не ново.
8 сентября 2026 года OpenAI объявила, что ее внутренняя модель решила проблему тысячелетия уравнения Навье-Стокса. Было сказано, что для параллельных вычислений было использовано около 10 000 Агентов.
Однако математик из Университета Брауна Гомес-Серрано упомянул на лекции в Гарварде, что соответствующее 166-страничное доказательство «непонятно».
11 сентября 25 лауреатов медали Филдса (в том числе Теренс Теру и другие) совместно опубликовали публичное заявление «Серьезное неправильное использование искусственного интеллекта в математике», критикуя компании, занимающиеся искусственным интеллектом, за использование «преодоления известных проблем» в качестве маркетингового инструмента для демонстрации возможностей моделей и поспешное их распространение. Это не только не способствовало развитию математики, но и оказало негативное влияние на математическое сообщество.
21 сентября OpenAI объявила о создании независимой консультативной группы, состоящей из математиков (AGMAI, расположенной в Институте перспективных исследований в Принстоне). 29 сентября консультативная группа заявила, что при публикации математических результатов, полученных с помощью ИИ, она также раскроет используемую модель, конкретные слова-подсказки и время расчета.
Но среди 722 рукописей, выпущенных OpenAI на этот раз, были озвучены только общие цифры, такие как «среднее время расчета». Никаких подсказок не было объявлено, и никакие модели не были раскрыты.
Математик Массачусетского технологического института Эндрю Сазерленд сказал: «Если они не опубликуют модель, чтобы каждый мог ее воспроизвести, идею о том, что один агент может решить проблему с помощью одной подсказки, следует считать недоказанной. Мы должны потребовать увидеть «квитанцию»».
Подразумевается, что все эти 722 рукописи являются «фейковыми новостями».
Упомянутая в начале Ассоциация гуманитарных и математических наук 7 октября полагала, что «обнародование более 700 документов одновременно демонстрирует не академическую науку, а некую власть». Впоследствии ассоциация призвала математиков прекратить сотрудничество с OpenAI.
Конечно, есть и другой голос. «Если мы хотим знать ответы на эти математические проблемы, я не вижу причин просить компании скрывать их… Это хорошо для математики», — сказал Дэниел Литт из Университета Торонто.
Математики не могут проверить эти 722 рукописи за короткое время, поэтому они надеются проверить их с помощью Lean.
Lean — это «помощник по доказательствам» и язык программирования. Математикам необходимо перевести каждый шаг доказательства на строгий язык, понятный Лину. Затем система Lean проверяет это шаг за шагом. Пока какой-либо шаг неоднозначен или пропущен, он завершится неудачей. После прохождения доказательство почти наверняка будет логически безошибочным.
По данным общедоступного каталога, из 372 семейств результатов, объединенных в 722 рукописи, 235 имеют формальные описания Lean, что составляет примерно 63%.
Но Lean не всесилен. Математик Гил Калаи заявил, что с проверкой Лина также могут возникнуть проблемы. Например, если при переводе математической задачи на язык Lean возникает отклонение в самом переводе и машинная проверка проходит, это может быть не исходная проблема. Кроме того, Lean может только подтвердить, что это «логически необоснованно», но не может судить, является ли результат новым или ценным.
Поэтому рукопись № 074, не формализованная Лином, может быть проверена только математиками.
Если наконец окажется, что Манускрипт № 074 верен, это должно стать знаковым событием в истории математики.
Чтобы решить проблему Какейи в трех измерениях, потребовалось более 100 лет, но ИИ сделал несколько шагов вперед всего за три часа.
Аналогичным образом в конце концов может обнаружиться, что Рукопись № 074 на самом деле неверна.
В конечном счете, следует ли называть доказательством «доказательство», которое люди не могут проверить за короткий период времени? Это настоящая загадка, оставленная математическому сообществу.
Комментарии